Effet papillon

• Deux chapitres du film mathématique Chaos, réalisé par Jos Leys, Étienne Ghys et Aurélien Alvarez seront certainement éclairant sur le concept mathématique de l’effet papillon : le chapitre 7 sur l’effet papillon, et le chapitre 8 sur un avatar de système très sensible aux conditions initiales, le moulin de Lorenz. C’est certainement une bonne idée de démarrer au chapitre 1 pour tout comprendre !
• Evidemment, un retour aux fondamentaux est toujours une bonne chose ! Notamment le livre de Poincaré dont l’audio est tiré, Science et Méthode. Voir ici pour une version en ligne.

• Les animations javascript des trajectoires sont adaptées d’un travail de Dan Gries, qu’on trouvera ici. Elles ont été adapté pour nos besoins par Valentin Lorentz.
• Les trajectoires présentées sont des trajectoires d’une version simplifiée du problème à trois corps, qu’on appelle le problème à trois corps restreint, circulaire, planaire. Restreint : un des corps est supposé de masse négligeable par rapport aux deux autres, qui suivent donc des trajectoires du problème à deux corps. Circulaire : on suppose en plus que ces trajectoires sont des cercles, ce qui nous permet de nous placer dans un repère tournant dans lequel les deux gros corps sont fixes. Planaire : on suppose enfin que le troisième corps évolue dans le même plan que les deux autres. Ce système est décrit par une équation différentielle de degré 2, qu’on intègre ici par une méthode Runge-Kutta d’ordre 4 classique.
• L’audio de Poincaré est issu de Science et Méthode. En voici une transcription :

«  Une cause très petite, qui nous échappe, détermine un effet considérable que nous ne pouvons pas ne pas voir, et alors nous disons que cet effet est dû au hasard. Si nous connaissions exactement les lois de la nature et la situation de l’univers à l’instant initial, nous pourrions prédire exactement la situation de ce même univers à un instant ultérieur. Mais, lors même que les lois naturelles n’auraient plus de secret pour nous, nous ne pourrons connaître la situation initiale qu’approximativement. Si cela nous permet de prévoir la situation ultérieure avec la même approximation, c’est tout ce qu’il nous faut, nous disons que le phénomène a été prévu, qu’il est régi par des lois ; mais il n’en est pas toujours ainsi, il peut arriver que de petites différences dans les conditions initiales en engendrent de très grandes dans les phénomènes finaux ; une petite erreur sur les premières produirait une erreur énorme sur les derniers. La prédiction devient impossible et nous avons le phénomène fortuit.

[…] Pourquoi les météorologistes ont-ils tant de peine à prédire le temps avec quelque certitude ? Pourquoi les chutes de pluie, les tempêtes elles-mêmes nous semblent-elles arriver au hasard, de sorte que bien des gens trouvent tout naturel de prier pour avoir la pluie ou le beau temps, alors qu’ils jugeraient ridicule de demander une éclipse par une prière ? Nous voyons que les grandes perturbations se produisent généralement dans les régions où l’atmosphère est en équilibre instable. Les météorologistes voient bien que cet équilibre est instable, qu’un cyclone va naître quelque part ; mais où, ils sont hors d’état de le dire ; un dixième de degré en plus ou en moins en un point quelconque, le cyclone éclate ici et non pas là, et il étend ses ravages sur des contrées qu’il aurait épargnées. Si on avait connu ce dixième de degré, on aurait pu le savoir d’avance, mais les observations n’étaient ni assez serrées, ni assez précises, et c’est pour cela que tout semble dû à l’intervention du hasard. Ici encore nous retrouvons le même contraste entre une cause minime, inappréciable pour l’observateur, et des effets considérables, qui sont quelquefois d’épouvantables désastres. «  

Sciences et méthode, Livre 1, Chapitre 4.