Pas de calcul !

… Une avancée spectaculaire fut accomplie dans les années 1950-60 au niveau mathématique quand, utilisant les travaux de Kolmogorov, Arnold démontra le théorème suivant : si les masses des planètes avaient été suffisamment petites par rapport à celle du Soleil (en fait incomparablement plus petites que les masses réelles), pour beaucoup (dans un sens mathématique précis) de conditions initiales (positions et vitesses initiales des planètes), le mouvement des planètes aurait été quasi-périodique, c’est-à-dire une sorte de superposition de mouvements oscillatoires ; en particulier, ces mouvements sont bornés et sans collisions, tout comme l’est leur approximation keplerienne (leurs orbites sont des ellipses). C’est un retentissant résultat de stabilité, même si, d’une part, il ne s’applique pas au système solaire lui-même, et si, d’autre part, à supposer que les masses soient suffisamment petites, il ne s’applique pas à toutes les conditions initiales possibles. L’ampleur des difficultés mathématiques pour vaincre ce théorème avait fait reculer des mathématiciens aussi brillants que Weierstrass et Poincaré.

La théorie KAM (du nom des trois mathématiciens Kolmogorov, Arnold et Moser), a pour objet l’étude des mouvements quasi-périodiques et leur persistance par petite perturbation ; l’appareil mathématique qui réside derrière cette théorie est complexe et, depuis le remarquable résultat d’Arnold, devint une machinerie en développement continu : si d’une part on peut alors prouver que sous des conditions très particulières le système Soleil-Jupiter-Saturne est stable, de l’autre il y a plein d’autres orbites remarquables qui sont observées et dont on veut comprendre le comportement à long terme.

Un exemple très joli est donné par Janus et Épimethée, deux petites lunes de Saturne (de diamètre à peine de 100 km environ !) découvertes en 1980 par la sonde Voyager. Ces satellites ont la remarquable propriété d’être les seuls corps connus du système solaire a évoluer de manière « stable » (tout au moins sur une longue durée) dans une configuration en «  fer à cheval  » où tous les 4 ans, l’un et l’autre se rapprochent et échangent leurs orbites : le plus interne passant sur une orbite extérieure et inversement.

Il est alors naturel de se demander si ce type de configuration est stable sur un temps infiniment long. Autrement dit : est-ce que Janus et Épimethée auront perpétuellement des rapprochements et consécutivement des échanges d’orbites ? Ou bien, est-ce qu’au bout d’un certain temps ces échanges n’auront plus lieu a cause, par exemple, d’une collision mutuelle ou, au contraire d’un éloignement progressif de ces deux lunes ?

Des avancées toutes récentes visent à appliquer la théorie KAM à ce type de configurations et montrer la stabilité de ce joli système.

… Bon, il faut admettre également que même quand on rejette l’addition en criant « nous, on ne fait pas du calcul » (dans le sens usuel auquel les gens pensent), on fait du calcul quand même, un type de calcul qui n’est peut être pas finalisé à «  résoudre  » une équation en trouvant explicitement ses solutions (chose qui arrive très rarement) mais à chercher de comprendre le comportement de certaines de ces solutions – si l’on sait tout au moins qu’elles existent. Alors, dans quel sens on ne fait pas que du calcul ? Essayons de partir du début.

L’évolution de l’étude des systèmes dynamiques a été joliment synthétisée par Yulij Ilyashenko dans son texte Attracteurs des systèmes dynamiques et généricité paru dans Images des Mathématiques ; Ilyashenko répartit cette étude en trois périodes (qui, bien évidemment, communiquent toujours entre elles) :

• la période de Newton : une équation différentielle est donnée. Résolvez-la !
• la période de Poincaré : une équation différentielle est donnée. Décrivez le comportement qualitatif des solutions, sans la résoudre !
• la période d’Andronov : aucune équation différentielle n’est donnée. Décrivez les propriétés qualitatives des solutions !

En effet, c’est la première période celle qui s’approche peut être le plus de la pensée commune. Newton le premier se rendit compte que l’évolution d’un système pouvait être décrite par une équation différentielle. Considérons par exemple deux planètes qui s’attirent mutuellement suivant la loi de gravitation universelle, l’évolution de la trajectoire d’un corps (et de même pour l’autre) est donnée par un principe fondamental : la masse du corps multipliée par son accélération est égale à la somme des forces qui s’exercent sur lui.

Dans le cadre de notre exemple, c’est la force gravitationnelle exercée par l’autre planète ; ceci constitue un système d’équations différentielles du deuxième ordre qui nécessite de connaître deux quantités, les vitesses et positions des corps à un instant initial, afin d’en pouvoir déterminer la solution : positions-vitesses des planètes au cours du temps. C’est lorsqu’on se rend compte de l’existence de certaines bonne propriétés (symétries, conservation de certaines quantités comme le moment cinétique…) satisfaites par ce système, qu’il est possible de donner une solution explicite des trajectoires de ces corps, pour toute condition initiale.

A ce point, je tiens à préciser qu’une telle situation est un petit miracle dans le monde des systèmes d’équations différentielles. En effet, très très peu de problèmes peuvent être décrits si explicitement et être, comme celui-ci, complètement compris (il suffit de rajouter une planète au problème ci-dessus…).

Quoi faire alors d’un système d’équations que l’on ne peut pas résoudre ? La description qualitative des solutions.